Les angles, leurs diverses unités, leurs valeurs remarquables, les propriétés qui en découlent, l’aire d’un disque, tout ceci est nécessaire pour étudier les triangles et la trigonométrie.
Collège
La trigonométrie
Une première vidéo est consacrée au lien entre les lignes trigonométriques et le théorème de Thalès (il faut bien que ce théorème serve une fois dans le cursus scolaire!), et les valeurs concernant les angles remarquables:
Le cercle trigonométrique, sa définition, ses propriétés:
Construire en moins d’une minute le cercle trigonométrique pour lire les cosinus, sinus et tangentes des angles remarquables.
L’équation d’une droite
Suite aux différents décalages de la droite de référence, on obtient une droite quelconque d’équation y=ax+b ou encore kx+cy+d=0;
Dans une première partie, on précise ce qu’est une équation, une équation réduite, une équation cartésienne, et la pente de la droite.
Dans une deuxième partie, on détermine l’équation à partir de 2 données : les coordonnées d’1 point et le coefficient directeur.
Pour obtenir le coefficient directeur,
- soit il est directement donné,
- soit on a les coordonnées d’un deuxième point
- soit on a les coordonnées d’un vecteur directeur,
- soit on peut calculer le nombre dérivé f′(x_A) d’une fonction f en l’abscisse x_A d’un point A. On pourra alors déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentant f, au point A.
Les puissances entières d’un nombre réel
Les propriétés et règles de calcul sur les puissances entières d’un réel quelconque se démontrent facilement au niveau collège. Ces démonstrations sont très importantes pour comprendre ce qu’il faut apprendre et appliquer pendant toutes les années d’études scientifiques.
La fonction exponentielle est la généralité de la fonction puissance, donc, quand on a tout compris au collège, on aborde la classe de terminale très serein!
Pour une première approche sur la fonction puissance, on peut d’abord se familiariser avec les calculs sur les puissances de 10, qui sont très utiles pour la physique, par exemple pour des conversions d’unités de mesure.
Les démonstrations de ces propriétés générales sont faites en vidéo.
Dans la première partie, on donne la définition de la puissance entière positive d’un nombre réel, et on démontre la règle de calcul concernant la multiplication de deux puissances différentes du même nombre; on explique aussi pourquoi un nombre élevé à la puissance 0 vaut 1:
Dans la deuxième partie, on démontre la règle de calcul de la division de deux puissances différentes d’un même nombre non nul, on définit la puissance entière négative d’un nombre non nul, et on donne la définition de l’inverse d’un nombre non nul:
Dans la troisième partie, on démontre la règle de calcul de la multiplication (et de la division) de deux nombres différents élevés à la même puissance, et de la puissance d’un nombre élevé à une autre puissance. On démontre aussi pourquoi pour écrire l’inverse d’une fraction, il faut échanger le numérateur et le dénominateur! Et, on donne aussi quelques exemples numériques.
Conversions d’unités de mesure
Pourquoi convertir?
Quand on fait des calculs sur des grandeurs physiques qui sont reliées par des égalités, chaque lettre de la formule soit être remplacée par sa valeur numérique dans l’unité de mesure compatible avec l’égalité, qui n’est pas forcément celle qui est donnée dans le problème à résoudre. Dans l’extrême majorité des cas, les unités à utiliser sont celles du systèmes international.
Les symboles utilisés pour les unités de mesure obéissent à quelques règles; les voici:
A partir des données du problème il faudra convertir les unités qui ne sont pas compatibles avec la formule physique à employer puis adapter le résultat dans une unité, un multiple ou un sous-multiple, appropriée à l’utilisation courante.
Les multiples et sous-multiples ont été appris au primaire, à l’aide d’un tableau de conversion. En maîtrisant les puissances de 10 et les opérations élémentaires sur les puissances, on doit très vite se passer de ce tableau, et toutes les conversions, aussi compliquées puissent-elles paraître, deviennent alors très simples.
Les explications en vidéo…
Quelques exemples de conversions en vidéo:
Les aires et les volumes:
Les équations
Une équation est une égalité comportant une ou plusieurs inconnues.
Résoudre une équation, c’est faire les calculs qui permettent de trouver la valeur ou l’expression des inconnues.
Une équation différentielle est une équation pour laquelle l’inconnue est une fonction qui intervient avec ses dérivées.
Vidéo en préparation
Les opérations élémentaires
L’addition est l’opération qui est la base de toutes les autres. Une soustraction est une addition d’un nombre négatif, une multiplication est une addition de plusieurs nombres identiques, une division est une soustraction de plusieurs nombres identiques, l’opération puissance est la multiplication de plusieurs nombres identiques.
Mais il ne faut pas oublier qu’on ne peut additionner (ou soustraire) que des entités de même nature: en physique, on dira des grandeurs ayant la même unité, en mathématique la notion d’unité est extrêmement réduite à ‘unité’. Quand on compte 1, 2, 3…. cela sous-entend une unité, deux unités, trois unités….. de quoi? cela n’est précisé que dans un cadre d’utilisation de l’opération: des euros, des fleurs, des kilomètres, des centilitres, des minutes……
Quelques exemples en vidéo:
La soustraction mène aux nombres négatifs.
Vous avez appris à additionner et soustraire des nombres négatifs, mais jusqu’où avez-vous compris ce que cela signifie?
Le symbole (-) utilisé pour la soustraction est le même que celui utilisé pour signer un nombre négatif; est-ce par nécessité, ou par commodité?
Vous trouverez quelques éléments de réponse dans cette vidéo:
Le bon vocabulaire!
Pour éclaircir ses idées, même sur des concepts assez simples, avoir le bon vocabulaire est une arme infaillible!
Les propriétés (assez naturelles) que possède l’addition (mais pas la soustraction!) ont un nom, qui n’est enseigné que très tard dans le cursus mathématique, mais pourquoi?
Dans cette 3ème partie de ce volet sur la soustraction, j’expliquer les règles de calculs pour additionner et soustraire des nombres négatifs et positifs, en utilisant le vocabulaire décrit dans la partie 2.
Ensuite, je me consacrerai à la multiplication et la division!
Les puissances de 10
Les puissances de 10 sont des outils mathématiques absolument indispensables en physique, par exemple pour des conversions d’unités de mesure; on les introduit dès la fin du primaire, et leur construction, leurs propriétés et leur utilisation se consolident au fil des années.
En vidéo, il sera plus facile de comprendre la construction des puissances de 10, pour mémoriser simplement des résultats très importants, et pas forcément intuitifs.
Les règles de calculs des puissances de 10 sont, bien sûr, issues des règles de calcul des puissances d’un nombre quelconque. Trois vidéos vous permettront de comprendre ces règles élémentaires, apprendre à les manipuler et bien les retenir.