Les vecteurs sont des outils mathématiques indispensables en physique, et font l’objet d’une généralisation très importante en algèbre.
La première partie de ce chapitre est accessible à partir de la fin du collège et approfondit des notions abordées en début de lycée.
On y définit un vecteur comme une flèche, on définit l’addition des vecteurs et la colinéarité; au passage on présente la valeur absolue; on y montre ce qu’est la projection d’un vecteur.
La deuxième partie traite des composantes d’un vecteur et des coordonnées d’un point dans un repère orthonormé.
La troisième partie donne des démonstrations de la distance entre 2 points, des coordonnées du milieu d’un segment, et des diverses expressions de la colinéarité dans un repère orthonormé de dimension 2.
Au lycée, on apprend par cœur les opérations sur les dérivées: addition, multiplication, division, composition; on apprend l’expression des dérivées des fonctions élémentaires: constantes, affines, polynomiales, trigonométriques, hyperboliques, exponentielles, logarithmiques….. La plupart du temps, on oublie les domaines de définition qui leur sont assortis, parce que tout ceci en fait beaucoup à apprendre.
En comprenant l’origine de toutes ces formules, en maîtrisant les bases de la trigonométrie, des opérations sur les puissances, sur les limites, on peut en démontrerun certain nombre, à partir de la définition de la dérivée, pour en faciliter la mémorisation.
Les propriétés et règles de calcul sur les puissances entières d’un réel quelconque se démontrent facilement au niveau collège. Ces démonstrations sont très importantes pour comprendre ce qu’il faut apprendre et appliquer pendant toutes les années d’études scientifiques.
La fonction exponentielle est la généralité de la fonction puissance, donc, quand on a tout compris au collège, on aborde la classe de terminale très serein!
Pour une première approche sur la fonction puissance, on peut d’abord se familiariser avec les calculs sur les puissances de 10, qui sont très utiles pour la physique, par exemple pour des conversions d’unités de mesure.
Les démonstrations de ces propriétés générales sont faites en vidéo.
Dans la première partie, on donne la définition de la puissance entière positive d’un nombre réel, et on démontre la règle de calcul concernant la multiplication de deux puissances différentes du même nombre; on explique aussi pourquoi un nombre élevé à la puissance 0 vaut 1:
Dans la deuxième partie, on démontre la règle de calcul de la division de deux puissances différentes d’un même nombre non nul, on définit la puissance entière négative d’un nombre non nul, et on donne la définition de l’inverse d’un nombre non nul:
Dans la troisième partie, on démontre la règle de calcul de la multiplication (et de la division) de deux nombres différents élevés à la même puissance, et de la puissance d’un nombre élevé à une autre puissance. On démontre aussi pourquoi pour écrire l’inverse d’une fraction, il faut échanger le numérateur et le dénominateur! Et, on donne aussi quelques exemples numériques.
