Au lycée, on apprend par cœur les opérations sur les dérivées: addition, multiplication, division, composition; on apprend l’expression des dérivées des fonctions élémentaires: constantes, affines, polynomiales, trigonométriques, hyperboliques, exponentielles, logarithmiques….. La plupart du temps, on oublie les domaines de définition qui leur sont assortis, parce que tout ceci en fait beaucoup à apprendre.
En comprenant l’origine de toutes ces formules, en maîtrisant les bases de la trigonométrie, des opérations sur les puissances, sur les limites, on peut en démontrerun certain nombre, à partir de la définition de la dérivée, pour en faciliter la mémorisation.
La fonction f’, dérivée d’une fonction f, appliquée à un réel x appartenant au domaine de dérivabilité de la fonction f, donne la valeur du coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f, au point d’abscisse x.
Les propriétés et règles de calcul sur les puissances entières d’un réel quelconque se démontrent facilement au niveau collège. Ces démonstrations sont très importantes pour comprendre ce qu’il faut apprendre et appliquer pendant toutes les années d’études scientifiques.
La fonction exponentielle est la généralité de la fonction puissance, donc, quand on a tout compris au collège, on aborde la classe de terminale très serein!
Pour une première approche sur la fonction puissance, on peut d’abord se familiariser avec les calculs sur les puissances de 10, qui sont très utiles pour la physique, par exemple pour des conversions d’unités de mesure.
Les démonstrations de ces propriétés générales sont faites en vidéo.
Dans la première partie, on donne la définition de la puissance entière positive d’un nombre réel, et on démontre la règle de calcul concernant la multiplication de deux puissances différentes du même nombre; on explique aussi pourquoi un nombre élevé à la puissance 0 vaut 1:
Dans la deuxième partie, on démontre la règle de calcul de la division de deux puissances différentes d’un même nombre non nul, on définit la puissance entière négative d’un nombre non nul, et on donne la définition de l’inverse d’un nombre non nul:
Dans la troisième partie, on démontre la règle de calcul de la multiplication (et de la division) de deux nombres différents élevés à la même puissance, et de la puissance d’un nombre élevé à une autre puissance. On démontre aussi pourquoi pour écrire l’inverse d’une fraction, il faut échanger le numérateur et le dénominateur! Et, on donne aussi quelques exemples numériques.
Quand on fait des calculs sur des grandeurs physiques qui sont reliées par des égalités, chaque lettre de la formule soit être remplacée par sa valeur numérique dans l’unité de mesure compatible avec l’égalité, qui n’est pas forcément celle qui est donnée dans le problème à résoudre. Dans l’extrême majorité des cas, les unités à utiliser sont celles du systèmes international.
Les symboles utilisés pour les unités de mesure obéissent à quelques règles; les voici:
A partir des données du problème il faudra convertir les unités qui ne sont pas compatibles avec la formule physique à employer puis adapter le résultat dans une unité, un multiple ou un sous-multiple, appropriée à l’utilisation courante.
Les multiples et sous-multiples ont été appris au primaire, à l’aide d’un tableau de conversion. En maîtrisant les puissances de 10 et les opérations élémentaires sur les puissances, on doit très vite se passer de ce tableau, et toutes les conversions, aussi compliquées puissent-elles paraître, deviennent alors très simples.
Les puissances de 10 sont des outils mathématiques absolument indispensables en physique, par exemple pour des conversions d’unités de mesure; on les introduit dès la fin du primaire, et leur construction, leurs propriétés et leur utilisation se consolident au fil des années.
En vidéo, il sera plus facile de comprendre la construction des puissances de 10, pour mémoriser simplement des résultats très importants, et pas forcément intuitifs.
Les règles de calculs des puissances de 10 sont, bien sûr, issues des règles de calcul des puissances d’un nombre quelconque. Trois vidéos vous permettront de comprendre ces règles élémentaires, apprendre à les manipuler et bien les retenir.