Au lycée, on apprend par cœur les opérations sur les dérivées: addition, multiplication, division, composition; on apprend l’expression des dérivées des fonctions élémentaires: constantes, affines, polynomiales, trigonométriques, hyperboliques, exponentielles, logarithmiques….. La plupart du temps, on oublie les domaines de définition qui leur sont assortis, parce que tout ceci en fait beaucoup à apprendre.
En comprenant l’origine de toutes ces formules, en maîtrisant les bases de la trigonométrie, des opérations sur les puissances, sur les limites, on peut en démontrerun certain nombre, à partir de la définition de la dérivée, pour en faciliter la mémorisation.
La fonction f’, dérivée d’une fonction f, appliquée à un réel x appartenant au domaine de dérivabilité de la fonction f, donne la valeur du coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f, au point d’abscisse x.
Les propriétés et règles de calcul sur les puissances entières d’un réel quelconque se démontrent facilement au niveau collège. Ces démonstrations sont très importantes pour comprendre ce qu’il faut apprendre et appliquer pendant toutes les années d’études scientifiques.
La fonction exponentielle est la généralité de la fonction puissance, donc, quand on a tout compris au collège, on aborde la classe de terminale très serein!
Pour une première approche sur la fonction puissance, on peut d’abord se familiariser avec les calculs sur les puissances de 10, qui sont très utiles pour la physique, par exemple pour des conversions d’unités de mesure.
Les démonstrations de ces propriétés générales sont faites en vidéo.
Dans la première partie, on donne la définition de la puissance entière positive d’un nombre réel, et on démontre la règle de calcul concernant la multiplication de deux puissances différentes du même nombre; on explique aussi pourquoi un nombre élevé à la puissance 0 vaut 1:
Dans la deuxième partie, on démontre la règle de calcul de la division de deux puissances différentes d’un même nombre non nul, on définit la puissance entière négative d’un nombre non nul, et on donne la définition de l’inverse d’un nombre non nul:
Dans la troisième partie, on démontre la règle de calcul de la multiplication (et de la division) de deux nombres différents élevés à la même puissance, et de la puissance d’un nombre élevé à une autre puissance. On démontre aussi pourquoi pour écrire l’inverse d’une fraction, il faut échanger le numérateur et le dénominateur! Et, on donne aussi quelques exemples numériques.
Quand on fait des calculs sur des grandeurs physiques qui sont reliées par des égalités, chaque lettre de la formule soit être remplacée par sa valeur numérique dans l’unité de mesure compatible avec l’égalité, qui n’est pas forcément celle qui est donnée dans le problème à résoudre. Dans l’extrême majorité des cas, les unités à utiliser sont celles du systèmes international.
Les symboles utilisés pour les unités de mesure obéissent à quelques règles; les voici:
A partir des données du problème il faudra convertir les unités qui ne sont pas compatibles avec la formule physique à employer puis adapter le résultat dans une unité, un multiple ou un sous-multiple, appropriée à l’utilisation courante.
Les multiples et sous-multiples ont été appris au primaire, à l’aide d’un tableau de conversion. En maîtrisant les puissances de 10 et les opérations élémentaires sur les puissances, on doit très vite se passer de ce tableau, et toutes les conversions, aussi compliquées puissent-elles paraître, deviennent alors très simples.
Ce que j’appelle la comptine de la numération, c’est la réponse qu’un enfant de 5 ans environ vous donnera à la question: « jusqu’à combien sais-tu compter? », à savoir: 1, 2, 3, 4, 5, etc. C’est une mémorisation de la suite des nombres naturels.
Quand on compte 1, 2, 3…. cela sous-entend une unité, deux unités, trois unités….. de quoi? cela n’est précisé que dans un cadre d’utilisation: des doigts, des euros, des noisettes, des kilomètres, des centilitres, des minutes…… La notion d’unité est extrêmement importante en physique, il faut s’y familiariser très tôt.
Il est vraiment dommage que le 0 fasse rarement partie de la comptine. Effectivement, la valeur 0 est souvent difficile à manipuler et il me parait judicieux de l’introduire le plus tôt possible, pour débuter la comptine: 0, 1, 2, 3 etc.
Cette valeur apparaît naturellement par soustraction: on pose 5 noisettes sur la table, on les enlève une à une, quand il n’en reste plus, il en reste 0. En mathématique, ‘rien’ est représenté par le symbole ‘0’, il faut s’y familiariser très tôt, aussi!
L’addition est l’opération qui est la base de toutes les autres. Une soustraction est une addition d’un nombre négatif, une multiplication est une addition de plusieurs nombres identiques, une division est une soustraction de plusieurs nombres identiques, l’opération puissance est la multiplication de plusieurs nombres identiques.
Mais il ne faut pas oublier qu’on ne peut additionner (ou soustraire) que des entités de même nature: en physique, on dira des grandeurs ayant la même unité, en mathématique la notion d’unité est extrêmement réduite à ‘unité’. Quand on compte 1, 2, 3…. cela sous-entend une unité, deux unités, trois unités….. de quoi? cela n’est précisé que dans un cadre d’utilisation de l’opération: des euros, des fleurs, des kilomètres, des centilitres, des minutes……
Quelques exemples en vidéo:
La soustraction mène aux nombres négatifs.
Vous avez appris à additionner et soustraire des nombres négatifs, mais jusqu’où avez-vous compris ce que cela signifie?
Le symbole (-) utilisé pour la soustraction est le même que celui utilisé pour signer un nombre négatif; est-ce par nécessité, ou par commodité?
Vous trouverez quelques éléments de réponse dans cette vidéo:
Le bon vocabulaire!
Pour éclaircir ses idées, même sur des concepts assez simples, avoir le bon vocabulaire est une arme infaillible!
Les propriétés (assez naturelles) que possède l’addition (mais pas la soustraction!) ont un nom, qui n’est enseigné que très tard dans le cursus mathématique, mais pourquoi?
Dans cette 3ème partie de ce volet sur la soustraction, j’expliquer les règles de calculs pour additionner et soustraire des nombres négatifs et positifs, en utilisant le vocabulaire décrit dans la partie 2.
Ensuite, je me consacrerai à la multiplication et la division!